본문 바로가기

Linear Algebra

MIT Linear Algebra, Lecture 3: Matrix Multiplication and Inverse Matrices

원문 : http://www.catonmat.net/blog/mit-linear-algebra-part-three/

강의 영상 : https://www.youtube.com/watch?v=FX4C-JpTFgY


이것은 MIT 선형대수 강좌 시리즈의 3번째 포스트이다. 이 포스트에서, 행렬들을 곱하기, 역행렬을 만들기 그리고 역행렬들을 찾는 한 알고리즘인 가우스-요르단 소거법에 대해서 5가지 방식으로 리뷰를 할 것이다. 


3번째 강좌는 행렬을 곱하는 5가지 방식으로 시작한다.

첫번째 방법은 전통적인 방법이다. 우리에게 aij 성분들을 가진 mxn 크기의 행렬A와 bjk 성분들을 가진 nxp크기의 행렬 B가 주어졌다고 가정하자. 우리는  A·B 곱을 찾기를 원한다. 행렬 A와 B를 곱하는 것은 Matrix multiplication cij = sum from k=1 to n of aik times bjk.성분들을 가진 mxp 크기의 행렬 C를 만든다.


여기에 이것들의 합이 작동하는지가 나와있다. 행렬 C의 첫 요소  c11를 찾기위해서는, 우리는 A행렬의 첫번째 행과 B 행렬의 첫번째 열을 더하면 된다. 그 합은  c11 = a11·b11 + a12·b21 + a13·b31 + ... + a1n·bn1 까지 확장 된다. 여기에 이 합을 시각화한것이 있다.



우리는 행렬 C의 모든요소들을 찾을때까지 계산을 계속한다. 여기 c23을 찾는 과정을 보인다.



행렬 B에서 각각의 열을 같는 2번째 박법은, 행렬 A전체를 B에 곱하는 하여 행렬 C에 결과 열을 두는 것이다. C의 열들은 A의 열들의 조합들이다. (이전 강의에서 행렬 곱하기 하나의 열은 하나의 열이라는 것을 기억하라)

예를 들어 행렬 C의 첫열을 갖기위해 우리는 A·(B행렬의 첫번째 열)을 계산하였다.


세번째 방법은 A의 각행을 전체 B에 곱하는 것이다. 그리고 결과 행을 행렬 C에 둔다. C의 행들은 B의 행들의 조합들이다. (다시한번, 이전강좌에서 행 곱하기 하나의 행렬은 하나의 행이라고 하였다.)

예를들어, 행렬 C의 첫번째 행을 얻기 위해, 우리는 A의 첫 행을 행렬 전체 B와 곱한다.


세번째 방법은  A,B 곱의 결과물을 A의 열들 곱하기 B의 행들의 하나의 합으로 보는것이다.

다음 예제를 보자.



다섯번째 방법은 행렬들을 블럭단위로 잘라 블럭들을 이전방법들중 아무것으로나 사용하여 곱하는것이다.

여기 하나의 예제가 있다. 행렬 A는 네개의 부분행렬  A1 A2 A3 A4 로 나뉜다.  행렬 B도 네개의 부분행렬 B1 B2 B3 B4  로 나뉜다. 그 블럭들은 간단한 행렬 원소들로 취급한다. 

여기에 이를 나타냈다.


예를 들어 원소 C1 은 A1·B1 + A2·B3으로 얻어진다..

다음은 역행렬들을 찾는것에 대해 강의한다. A행렬의 역은 A-1·A = I  (I는 단위행렬이다.)같이 또 다른 하나의 행렬이다. 사실 만약 A-1이 정방행렬 A의 역행렬이라면, 역행렬을 행렬 A의 왼쪽에 곱하나 오른쪽에 곱하나 단위행렬이 나오게 된다. 즉 교환법칙이 성립이 된다.  A-1·A = A·A-1 = I


만약 A행렬이 역행렬을 갖는다면, 이는 가역하다(가역행렬, Invertible matrix) 혹은 정칙하다(정칙행렬, Non-singular matrix)라고 한다.

만약 우리가  A·x = 0 같이 x(영벡터는 아님)를 찾을 수 있다면, 행렬 A가 비정칙(Non-singular)이라고 한다. 증명은 쉽다. A가 비정칙행렬이라고 가정한다. 즉 A-1이 존재한다. 이런 가정하에서 A-1·A·x = 0·A-1 은 x=0이라는 거짓판명이 된다. 그러므로 A는 반드시 정칙이어야 한다.


행렬 A가 정칙(Singular)라고 말하는 다른 방법은 행렬 A의 열들이 선형종속이라고 말하는 것이다. (하나 이상의 열들은 다른 열들의 선형결합으로 표현 될 수 있다.)


마지막으로 역행렬을 찾는것에 대한 결정론적인 방법을 보인다. 이 방법은 가우스-요르단 소거법이라고도 불린다. 간략하게 가우스-요르단 소거법은 첨가행렬(Augmented matrix) (A|I)를 오직 행 소거법을 사용하여 (I|A)로 변환한다.