Time Series Analysis 8 - Triple Exponential Smoothing

원문 : http://www.itl.nist.gov/div898/handbook/pmc/section4/pmc435.htm

그렇다면 trend와 seasonality가 있다면 어떻게 할것인가?

이러한 경우에는 smoothing이 작동하지 않을것이다. 따라서 seasonality(또는 periodicity라고도 함)를 다루기 위해서는 3번째 파라미터를 도입해야 한다. 이 방정식을 우리는 발명가의 이름을 따 Holt-Winters(HW) 방법이라고 부른다. 

기본적인 방정식은 아래와 같다.

는 관찰치

는 Smoothing된 관찰치

는 트렌드요소

는 계절성 지수(seasonal index)

는 m 기후의 예측치

는 시간주기를 가리킨다.

그리고  그리고 는 상수이다. 이 상수들은 MSE를 최소화해주는 방식으로 측정되어야만 한다.

HW 방식을 초기화하기 위해, 우리는 초기 계절성 지수들인 을 결정하기 위해, 적어도 한개의 완벽한 4계절 데이터가 필요하다. 하나의 완벽한 계절 데이터는 L개의 period로 구성된다. 그리고 우리는 한 period에서 다음 period로 trend 요소들을 측정해야한다. 이것을 하기위해서는, 다음의 2개의 완벽한 계절(2년치)을 사용하는것이 좋다. 즉 2L period이다.

이제 trend와 seasonality 파라미터에 대한 초기 추정치를 얻는 방법에 대해서 설명하겠다.

1. Initial values for the trend factor

초기 trend를 추정하는 일반식은 다음과같이 주어진다.

2. Initial values for the Seasonal Indices

예제에서 보듯, 우리는 일년에 4주기 ( 즉 4분기)를 가진 6년치의 데이터를 다룬다.

STEP.1 각 1년마다의 평균을 계산한다. 즉 년평균을 계산하라 이거다.

STEP. 2  해당 연평균으로 관찰치들을 나눈다.

STEP.3  이제 각 행의 평균을 계산하여, 계절성 지수를 만든다. 그러므로 초기 계절성 지수들은 다음과 같다. 즉 6년치의 4분기에 대한 계절성 지수들이다.

이제 우리는 초기 추정치에 대한 수학적 논리를 알았다.

이제 다음장에서는 Triple exponential에 대한 예제를 다루어 보겠다.

3. The case of the Zero Coefficients

때때로, Triple exponential smoothing의 결과로 trend() 나 seasonality() 혹은 둘다 마지막 계수가 0이 나오는 경우가 있다. 그렇다면 이것은 데이터에 trend나 seasonality 혹은 둘다가 없다는 것을 말하는가? 물론 아니다. 이것은 단지 trend와 seasonality에 대한 초기값이 딱 맞아 떨어졌을 뿐이다(be right on the money !). 따라서 가장 낮은 MSE를 얻기 위해 updating은 필요가 없다. 이것을 확인해보기위해서는, updating 식을 살펴봐야 한다.