MIT Linear Algebra, Lecture 1: The Geometry of Linear Equations

원문 : http://www.catonmat.net/blog/mit-linear-algebra-part-one/

강의 영상 : https://www.youtube.com/watch?v=ZK3O402wf1c

첫 강의는 Gilbert Strang교수가 선형대수의 근본적인 문제에 대해 선형 방정식의 체계를 이용하여 풀어서 시작했다.

두 미지수가 있는 두개의 방정식을 아래식으로 나타냈다.

이 연립방정식을 보는 방법이 3가지가 있다. 첫째는 행(row)방향으로 한번에 한줄씩 보는 것, 둘째는 한번에 한 열(column)씩 보는것, 세번째는 행렬형태를 사용하는 것이다. 

만약 한번에 한 행(row)씩이 방정식을 본다면, 우리는 두개의 독립적인 방정식들 2x-y=0 과 -x + 2y =3을 얻습니다. 이 둘은 모두 선형방정식이다. 만약 우리가 이를 그리면, 아래 row일때의 그림을 얻는다.

(x=1, y=2)인 한 점에서 두 선들이 만나는 것을 볼 수 있다. 이것이 두 방정식의 체계에 대한 답이다. 만약 이 두선이 교차하지 않는다면, 해는 없는것이다.

이제 한번에 한행(column)을 보는 방식을 보자. x에서 열은 (2, -1) y에서의 열은 (-1, 2) 그리고 우변에서의 열은 (0,3)이다. 이는 다음과 같이 나타낼 수 있다.

 

이것이 열들의 선형결합(Linear Combination)이다. 이것이 우리에게 말하주는것은 벡터 (0, 3)을 생성하기 위해 벡터 (2,-1)과 벡터(-1, 2)의 바로 정확한 양만큼 결합을 해야만 한다는 것이다. 열을 나타내느 그림에서 벡터들을 그릴수 있다.

만약 우리가 초록색 x 벡터 한개를 가지고 있고 두개의 파란색 회색 y벡터들우리가 가지고 있다면, 우리는 빨간색 벡터를 얻는다. 그러므로 해는 다시 (x=1, y=2)이다.

세번째이 시스템을 보는 방법은, 전부 행렬들로 보는것과 행렬방정식의 형식을 사용하는것이다. 일반적인 행렬식형태는 다음과 같다. Ax=b, 여기서 a는 행렬의 계수, x는 미지수 벡터 그리고 b는 우변 벡터이다.

 

행렬형태로 쓰여진 방정식들을 푸는 방법은 다음 강의에서 논의될 것이다. 그러나 이 방법을 미리 말하자면 이것이 바로 역대입(Back substitution)을 하는 가우스 소거법이라고 불린다.

이 두 방정식들에서, 두 미지수들의 체계, 행렬방정식 Ax=b는 이렇게 나타낸다.

강의에서 다음의 예제는 3개의 미지수들이 있는 3개의 방정식들이다.

미지수가 3개이기 때문에 더이상 2차원상에서는 이 방정식들을 나타낼 수 없다. 이것은 미지수 x,y,z에서 그 방정식들이 선형이기 때문에 3차원상이 될것이다. 우리는 이제 해가 존재한다면 한 점에서 만나는 3개의 면(plane)들을 얻을 것이다. 

아래 3개의 미지수에서의 3개의 방정식에 대한 행으로 본  그림이다.

빨간 부분은 2x-y=0 인 평면이고 초록색면은 -x + 2y -z =-1 인 평면 그리고 파란색 면은 -3y +4z =4 인 평면 이다.

교차점을 잡는것이 얼마나 어려운지를 깨달았는가? 거의 이를 찾는건 불가능하다. 모든 것이 한차원 올라갔다. 만약 4차원 이상으로 간다면 어떨지 상상해 봐라 (x=0, y=0, z=1에서 교차한다. ) 그리고 작은 하얀 점으로 표시하였다. 

열로 본것의 그림은 행 그림만큼 이해하기가 거의 어렵다. 여기 3미지수의 3개의 방정식에 대한 그림이다.

첫 열은 (2,-1,0) 빨간색, 두번째 열(-1,2,3)은 초록색, 세번째 열은(0, -1,4) 파란색 그리고 결과는 (0,-1,4) 회색이다.

다시한번, 해 벡터(0, -1, 4)를 구하기 위해 이 벡터들을 조정하는 방법을 시각화하는 것은 정말 어렵다. 우리는 이것이 특수한 예제이기 때문에 운이 좋았을 뿐이다. 만약 우리가 빨간색 벡터, 초록색벡터가 없고(0이고) 한개의 파란색 벡터를 가지고 있다면 우리는 회색벡터를 얻는다. 즉 빨간색과 초록색 벡터를 구할 필요가 없는것이다.

더많은 미지수들이 있는 더많은 방식을 다루면 훨씬더 복잡하고 여전히 어려울 것이다. 그러므로 우리는 평면 또는 열그림들을 그리는 것보다는 방정식들의 체계를 푸는 더 나은 방법들이 필요하다.

 

이 강의는 몇몇 질문들로 끝을 낸다.

⑴ Ax=b는 어떠한 b에 대해서도 풀릴수 있나?

⑵ 언제 열들의 결합이 전체 공간을 채우나?

⑶ 9개의 미지수를 가진 9개의 방정식을 푸는 방법에는 무엇이 있는가?