MIT Linear Algebra, Lecture 2: Elimination with Matrices

원문 : http://www.catonmat.net/blog/mit-linear-algebra-part-two/

강의 영상 : https://www.youtube.com/watch?v=QVKj3LADCnA

이 포스트에서는 소거법(elimination)과 역대입(back-substitution) 으로 선형 방정식 체계를 푸는것에 대한 강의에 대해 리뷰를 하겠다.

제 2강 : 행렬들의 소거법

소거법은 모든 소프트웨어 패키지가 방정식들을 푸는 방식이다. 만약 소거법이 성공한다면, 답을 얻을 수 있다. 만약 Ax=b에서 A행렬이 "좋은" 행렬(나중에 어떤 것이 좋은 행렬인지를 알아볼 것)이라면, 소거법이 작동되고 효율적인 방식으로 답을 얻을것이다. 또한 어떨때 소거법이 안되는지를 물어보는 것도 아주 좋은 질문이다. 우리는 이 강의에서 어떻게 소거법이 A행렬이 좋은지 나쁜지를 결정하는지를 볼 것이다. 소거법 이후에는 답을 완벽히 내기위해 역대입이라는 단계가 있다. 

좋다 여기 한 방정식 체계가 있다. 3개의 미지수가 있는 3개의 방정식이다.

1강에서 모든 이런한 체계는 행렬형태인 Ax=b의 형태로 쓰여질 수 있다고 했던것을 기억해라. A는 계수들의 행렬이고 x는 미지수들의 열벡터 그리고 b는 답들의 열벡터이다 (오른쪽 편). 그러므로 이 예제의 형렬형태는 다음과 같다.

소거법 과정을 위해, 우리는 A행렬과 b열벡터가 필요하다. 아이디어는 매우 간단하다. 첫째 우리는 확대(또는 첨가)행렬 형식 A|b 으로 A,b를 쓴다.

다음은 3번째 열에서 2열에 2를 곱하여 빼라. 마지막으로 우리가 필요한 상위삼각행렬을 생성하여라.

이제 소거법으로부터 나온 방정식들을 적어보자.

밑에서부터 올라가면서 계산을 하면, 우리는 바로 z,y,x를 구할 수 있다. 마지막 방정식으로 부터  z = -10/5 = -2. 이제 우리는 z를 중간에 있는 방정식에 대입시켜 y를 구할 수 있다.  2y = 6 + 2z = 6 + 2(-2) = 6 - 4 = 2 => y = 1. 그리고 마지막으로 첫번째 방정식에서 y와 z를 대입하여 x를 풀수가 있다.  x = 2 - 2y - z = 2 - 2(1) - (-2) = 2.

우리는 답을 찾았다. 답은  (x=2, y=1, z=-2) 이다. 우리가 답을 찾기위해 사용한 이 과정을 후방대입법이라고 한다. 한 열의 배수인 행을 갖고 그 배수인 행과 더하는것이 주 대각선에 0을 생성한다면, 소거법은 실패할 것이다. (소거법에 실패한 열들과 바꿀 다른열도 없을 것이다.)

강의에서 행렬을 사용하여 어떻게 이러한 문제에서도 소거법을 사용하는지를 계속해서 알려준다. 첫 강의에서, 우리는 한 행렬과 한 열벡터의 곱이 행렬의 열들의 조합을 준다고 배웠다. 유사하게, 한행에 한 행렬을 곱하면 행렬의 열들의 결합을 가져다준다. 

 소거법의 첫단계를 다시보자, 이것은 2번째 열에서 첫번째 열에 3배한것을 뺀다. 이것은 행렬곱으로도 표현이 가능하다. (잠시동안 열 b를 잊자.)

왼쪽항에서 왼쪽에 있는 행렬 E를 소거행렬(또는 기본행렬)이라고 하자. 그리고 이것의 결과행렬의 2행 1열에서 0을 만든다는걸 표시하기 위해 아래첨자를 E_21하자 

다음단계는 2열을 2배한 것에 3번째 열을 뺀것이다.

왼편 행렬이 다시 소거행렬이다. 이것을 3행 2열에서 0이 주어지는것 E_{32라고 하자. 그러나 이 2개의 단계는 합쳐질 수 있음에 주목하자.}

따라서 우리는 E₃₂(E₂₁A) = U 라고 쓸수 있다. 행렬 계산은 결합법칙이 성립한다는것을 기억하라. 그러므로 우리는 괄호를 (E₃₂E₂₁)A = U로 바꿀수 있다. 만약 우리가 (E₃₂E₂₁)를 곱한다면 우린 "소거 행렬(Elimination matrix)"이라고 불리는 E라는 하나의 행렬을 얻는다. 우리가 여태껏 한것은 행렬 언어로 전체 소거법의 과정을 표현한것이다.

다음은 한발짝 물러나 치환행렬이 어떻게 되는지를 본다. 질문은 "어떤 행렬이 한 행렬의 두 행들을 바꿀것인가?" 와 "어떤행렬이 한 행렬의 두 열들을 바꿀것인가" 이다, 

이에 대한 답은 동영상에서 찾아보자!